设等差数列{an}的前n项和为Sn

(1)a3=12,即a1+2d=12
s12=12a1+12(12-1)d/2=12a1+66d=12(a1+2d)+42d=144+42d
144+42d>0,d>-24/7,
s13=13a1+13(13-1)d/2=13a1+78d=13(a1+2d)+52d=156+52d
156+52d<0,d<-3
所以公差的范围是：-24/7<d<-3

(2)因为sn=na1+n(n-1)d/2=d/2*n^2+(12-2.5d)n
是一条开口向下的抛物线，显然这个图像的最高点就是sn的最大值。图像的对称轴是：

(12-2.5d)/(-d)=-12/d+2.5
由（1）的结论可以推算出这个值是6。
即s6的值最大。
从另一个方面说，S12>0，S13<0也可以推算出，当n=12时，s12的值基本上是接近0的，由二次函数的对称性可以推算出n=6时这个函数有最大值。

分析：由于a3=12得首项a1与公差d的关系(即方程) a1+2d=12，代入不等式S12>0，S13<0中可解得第(1)问，又Sn就是n的二次函数，第(2)问就是在d确定时求Sn的极值点。
解：（1）依题意，有
S12=12a1+12*(12-1)/2d>0
S13=13a1+13*(13-1)/2d<0
即 2a1+11d>0 （1）
A1+6d<0 （2）
由a3=12得a1=12-2d （3）
将（3）式代入（1）、（2）式代入，得
24+7d>0
3+d<0
∴-24/7<d<-3

(2)Sn=na1+n(n-1)/2d
=n(12-2d)+1/2n(n-1)d
=d/2[n-1/2(5-24/d)]^2-d/2[1/2(5-24/d)]^2
∵d<0
∴[n-1/2(5-24/d)]^2最小时，Sn最大
∴正